由于实现方式较为简单，最常用的PWM技术是采用三相参考电压信号与高频三角载波信号进行比较的方法。图2展示了一个三相参考电压信号的示例。当开关（载波）频率（fs）远高于参考信号频率时，可以认为在一个载波周期内参考信号的值保持不变。图3展示了在一个载波周期内详细的PWM波形，该图适用于图2中区间A的情况。在图3(a)中，三相参考信号与三角载波信号进行比较。例如，当U相参考信号Ur大于（小于）载波信号时，U相的开关状态su为1（0），即U相的上臂（下臂）晶体管接收到导通信号。三相的开关状态如图2(b)-(d)所示。
可以证明，时间间隔T0、T1、T2和T3与载波周期Ts的比值关系如下
其中，Vu、Vv和 Vw 分别为U、V、W三相的参考电压信号，VT 为载波信号的幅值。本文采用如下三相参考信号：
其中，θr=2πfrt，fr为参考信号基频，k为调制指数。so是一个任意波形信号，被注入到三个正弦参考信号中。假设注入信号的波形为任意形状，旨在涵盖所有可能用于抑制输入纹波的有用信号形式。对该信号so的唯一限制是其频率需远低于载波频率，使得式(5)-(7)给出的参考电压信号在一个载波周期内可视为恒定值。由于同一信号so被注入到三个参考信号中，输出线间电压的平均值将不受so的影响。
2、输入电流纹波分析
当逆变器的载波频率较高时，其输出电流可被视为正弦波，
其中， 分别为负载电流的有效值（RMS）和功率因数角。
逆变器输入电流、输出电流与开关状态之间的关系可表示为：
式中Su、Sv、Sw，分别表示 U、V、W 三相的开关状态。当某相的上桥臂开关器件接收到导通信号时，该相开关状态值为 1（上桥臂导通）；下桥臂接收到导通信号时，状态值为 0（下桥臂导通）。逆变器输入电流波形如图 3(e) 所示，其数学表达式可写为：
一个载波周期内逆变器输入电流的均方值可以计算为
将方程（2）-（3）和（8）-（9）代入方程（13），可得到以下结果
图2中区间A内上述结果的平均值可计算为
由于逆变器运行具有对称性，其他60度周期内的结果相同。
忽略逆变器中的功率损耗后，输入电流的直流分量可根据逆变器输入与输出之间的功率平衡关系得出
最终，逆变器输入电流纹波的有效值（RMS）可通过以下公式计算
注入信号S0对逆变器输入电流纹波的有效值无影响。因此，如式（17）所示的结果适用于所有类型的PWM参考电压信号。此外需特别指出，逆变器输入电流纹波的有效值不会随载波频率的变化而改变。因此，无法通过提高载波频率来降低逆变器输入电流纹波。
3、输入电压纹波分析与最小化
基于图1的电路，直流滤波电容的电流可表示为
若电流 ic、iL和id被分解为平均值与纹波分量，则式（18）可表示为：
由于上述等式的左右两侧的平均分量与纹波分量应分别相等，由此可得到以下方程：
由于直流滤波电容的平均电流 为零，
若直流滤波电容的容值足够大，则逆变器输入电流中的纹波分量几乎全部流经该电容，此时纹波电流 与负载电流纹波 相比可忽略不计。在此条件下，式（21）可简化为：
因此，前文所推导的逆变器输入电流纹波分析结果可用于确定直流滤波电容的纹波电流额定值。直流滤波电容电压（即逆变器输入电压）的纹波分量可通过以下公式计算
将式（12）代入式（24）后，直流滤波电容电压的纹波分量可表示为：
逆变器输入电压纹波的波形如图3(f)所示，其在一个载波周期内的电容电压纹波均方值可通过以下方式获取：
通过积分运算并将式（1）至（4）及式（8）至（10）代入结果，最终可得到以下表达式：
纹波电压的最小值可通过以下公式计算：
根据该方程，可求得最佳注入信号为：
因此，就逆变器输入电压纹波而言，最佳参考信号会随负载功率因数的变化而动态调整。在正弦参考信号中注入除三次谐波外的其他谐波既无实际意义，也无必要。若按式（30）所示，将注入信号设计为负载功率因数的函数，虽可优化纹波抑制，但会降低逆变器的最大调制指数。实际应用中，推荐采用以下注入信号形式
该注入信号在负载功率因数较高时，可较好地近似式（31）的数学表达。此外，文献3表明，在正弦参考电压信号中注入25%的三次谐波时，可最小化输出电流的谐波含量。
逆变器输入电压纹波在图2所示周期A内的有效值（RMS）可通过以下公式计算
由于逆变器运行具有对称性，其他60度周期内的分析结果与此相同。
4、几个不同参考电压下的输入电压纹波比较
在本论文中，研究了PWM逆变器在多种参考信号类型下的输入电压纹波特性。所分析的参考信号包括以下类型：
-
类型1：正弦波 -
此情况下，注入信号设为s0=0（即无额外谐波注入）。
-
-
类型2：正弦波+优化的三次谐波 -
此情况下，注入信号设为
-
-
类型3：正弦波+六分之一的三次谐波 -
此情况下，注入信号设为
-
-
类型4：SVPWM -
此情况下，注入信号设为
-
通过将上述表达式中的S0替换到方程（27）中，然后带入方程（32）进行积分就可以得到每种参考信号类型下逆变器输入电压纹波的均方值。这些结果如表1所示，并在图4~6中绘出。结果显示，在25%的三次谐波注入下，逆变器输入电压纹波最低。需要指出的是在零负载功率因素的情况下，无论采用何种PWM参考信号，逆变器输入电压纹波的均方值是相同的。因此，如果将图1用于静态无功功率补偿器，通过改变PWM参考信号的形状不能降低直流电压纹波。
二、纯电动汽车逆变器直流侧纹波分析与计算
1 系统拓扑及 SVPWM 调制波
假定纯电动汽车逆变器输出侧为三相平衡负载，其系统拓扑主要由动力电池、线路电感 L、支撑电容器 C、逆变单元以及电机等构成（图 1），其中 L 和 C 构成滤波回路，可有效地减小直流侧电压源的高频谐波成分。
传统的脉宽调制技术（如 SPWM）一般通过对高频三角载波与调制函数波进行比较，进而给定开关器件的通断信号。 SVPWM 的理论基础是平均值等效原理，即在一个开关周期内通过对基本电压矢量加以组合，使其平均值与给定电压矢量相等。在某个时刻，电压矢量旋转到某个区域中，可由组成这个区域的 2 个相邻的非零矢量和零矢量在时间上的不同组合来得到。在一个采样周期内， 2 个矢量分多次施加以控制各电压矢量的作用时间，使电压空间矢量近似圆轨迹地旋转，通过逆变器的不同开关状态所产生的实际磁通去逼近理想磁通圆。为便于分析 SVPWM 调制方式下直流侧的纹波情况，等同 SPWM 的原理，根据 PWM 的规则采样方法，可推导出 SVPWM 的隐含调制函数 [5]。三相隐含调制信号的波形如图 2 所示。
［ 5］王建宽，崔巍，江建中 . SVPWM 技术的理论分析及仿真［ J］ .微特电机， 2006(6)： 15-17.
与 SPWM 调制信号相比， SVPWM 调制方式中每相的隐含调制信号Ura， Urb 和Urc 均注入了一个谐波含量，其表达式如式（1）和式（2）所示，其中 ω 为逆变器三相输出信号角速度， M 为调制系数， Vz 为注入的谐波含量， Ucm 为三角载波的幅值。
Vmin =min[sinωt, sin(ωt-120° ), sin(ωt+120° )]。
相对于隐含调制信号，载波信号的频率要高很多，所以在一个载波周期范围内，可以认为调制信号的值是恒定的。根据 Ura， Urb 和 Urc 相互间大小关系，可将每个调制周期分成 6 段（图 2）。鉴于每段的分析过程相似，故本文只以 A 段为例显示该段内任一载波周期内详细相关信息（图 3）。图 3 示出载波信号与调制信号的比较情况。以 Ura 为例，当 Ura 大于（小于）载波信号时，U 相上管开通（下管开通），记其开关状态 SU 为 1（ 0）。由此得到逆变单元的输入电流 id 与三相输出电流 ia, ib, ic以及每相开关状态 SU, SV, SW 间的关系如下：
假定调制信号比双极三角载波信号的频率低很多，则认为在一个载波周期内，调制信号的参数值是恒定的。利用图 3 中的比例关系计算得到 T0， T1， T2 及 T3，具体如下：
假定逆变器电机负载为线性且忽略由于逆变器中IGBT 开通与关断造成的高频谐波，则可认为逆变器三相输出电流为正弦波：
在一个载波周期内，逆变器输出侧的电流平均值为Id，可利用式（ 7）进行计算：
由式（ 7）可知， Id 的大小主要取决于调制系数及负载情况。在忽略开关损耗的情况下，逆变器输出侧的有功功率为零时，逆变器输入端的电流平均值也为 0。然而，当开关器件高频动作时，逆变器输入侧电流必包含基于开关频率的倍频成分。
在 A 段，一个载波周期内，逆变器输入电流有效值的平方为：
在 A 段，在（ π/6， π/2）范围内，逆变器输入电流有效值的平方为：
同理，可验证 B~F 段内电流的有效值，其表达式与 A 段的相同，也与调制系数、负载电流及功率因数相关，故一个调制周期内的逆变器输入电流有效值平方可表示为：
根据图 1 有：
iC = iL- id （11）
假定式（11）中的每个变量均含有直流和纹波成分。由于电容器的容抗相对很大， iC 的直流成分几乎为 0，即id 所需的直流成分与电池侧 iL 的直流成分近似相等；由于电感 L 和电容 C 的良好滤波效果， iL 的纹波成分很少，几乎不计，所以逆变器输入侧电流 id 的纹波成分主要来至直流支撑电容器。电容器纹波电流（有效值）的计算式为（12）：
对于 SVPWM 调制方式， M 的取值范围为 [0, 1.15]。由式（11）可知，当 cosφ 和 IN 一定时， Icap 在 M 满足下式情况下能取得电容器纹波电流最大有效值 Icap max。（13）
以 Icap/IN 的变化来衡量纹波电流的大小，得到在不同功率因数 cosφ 下的最大纹波电流，如表 1 所示。cosφ ≤ 0.4 时，受限于调制系数的最大值，最大纹波电流
Icap max 与逆变器输出相电流 IN 幅值的比值 Icap max/IN ≤ 0.4；
当 0.4<cosφ ≤ 1 时， Icap max/IN ≤ 0.46。当 0.8<cosφ<1 时，纹波电流最大时 M 的取值范围在 0.6~0.7 之间。
根据式（12），得到的 Icap/IN， M 及 cosφ 间的三维空间关系如图 4 所示 。电动汽车电驱动系统实际运行过程中，负载功率因数 cosφ 基本在 0.7 以上。表 2 示出cosφ 分别为 0.7， 0.8， 0.85， 0.9， 0.95 和 1 时纹波电流值随调制系数 M 的变化情况。
图 4 Icap/IN、 M 及 cosφ 的关系
Fig. 4 Relationship among Icap/IN， M and cosφ
3 直流侧纹波电压
在任意时刻，支撑电容器的电压计算式为（14）：
单个载波周期内，由于电池侧电流与逆变器输入电流的直流成分（平均电流）相等，电容器的平均电流为 0，故电容器的电压不变，其纹波电压大小取决于纹波电流变化情况。由图 3 可知，在单个载波周期内，纹波电压有 4 段变化，对应 4 个时间段为： 2T0，T1+T2(t1~t3)，2T3(t3~t5) 和 T2+T1(t5~t7)。由于对称性， t1~t3 与 t5~t7 时间内电压变化相等。
根据参考文献 [6]，在 A 段，当
时，可得到每段时间内电压的变化量 ΔVC1，ΔVC2 及 ΔVC3。
（1）在 2T0 时间内，电压变化量为 ΔVC1，有：
（2）在 T1+T2 时间内，电压变化量为 ΔVC2，有：
（3）在 2T3 时间内，电压变化量为 Δ VC3，有：
将
分别代入式（ 15）~ 式（ 17）后，得到 A 段内纹波电压的通用表达式：
当 ωt=π/6 或 ωt=π/2 时， Vp-p 值最大，有：
根据纯电动汽车某功率组件开发实际情况，取载波频率为 10 kHz（即 TS=0.01 ms）， IN 为 340*1.414 A，支撑电容器 C 的容值为 750 μF。 cosφ 为 0.7， 0.8， 0.85， 0.9，0.95 和 1 时，计算所得的电容器最大纹波电压 Vp-pmax 随调制系数 M 的变化情况如表 3 所示。
根据式（19）可知，电容器纹波电压实际值不仅受逆变器的运行工况影响，而且还与电容器容值相关，容值越大，系统中的纹波电压也就越小。
4、补充
［ 6］ Pei Xuejun, Kang Yong, Chen Jian. Analysis and Calculation of DC-link Current and Voltage Ripple for Three-phase Inverter with Unbalanced Loads［C］ //29th Annual IEEE on Applied Power Electronics Conference and Exposition (APEC). Fort Worth, 2014：1565-1572.
针对三相逆变器在不平衡负载条件下的直流侧（dc-link）电流与电压纹波特性展开分析与计算，推导了直流侧电流的平均值与有效值，并发现其有效值与调制策略及开关频率无关。不同于平衡负载情况，除高频谐波外，电流与电压纹波中还包含双倍基频谐波成分。此外，文中计算了该双倍基频谐波引起的直流侧纹波电压峰峰值，并通过实验验证了理论分析的准确性。相关分析结果可为直流侧电容设计提供理论指导。
以区间A为例，根据调制波形可解算出T0、T1、T2和T3的具体数值：
一个载波周期内直流电流的平均值可以计算为
在负载平衡条件下，电流I―为零。因此，直流链路电流在一个载波周期内的平均值始终保持恒定，而直流链路电容电流在一个载波周期内的平均值为零。由此可知，直流链路电容电压在一个载波周期内的初始值与最终值相同。在此情况下，电压纹波由单个载波周期内的电压波动决定。从图4可以看出，电压纹波在一个载波周期内出现在四个时间区间：2T0、T1+T2（t1至t3）、2T3（t3至t5）以及T2+T1（t5至t7）。由于对称性，T1+T2和T2+T1区间的电压纹波特性相同。以区间A为例，2T0时间内的电压纹波可通过以下方式计算
谐波不仅包含开关频率及其倍频附近的高频分量，还会在两倍基频处出现。
直流母线电压峰峰值（32）
三、Analytical calculation of the RMS current stress on the DC-link capacitor of voltage-PWM converter systems
推导过程类似，不再重复。
根据图5所示，直流母线电容的电流应力取决于基波位移因数cosφ。对于控制永磁交流电机（接近单位功率因数）的情况，最坏情况下的电流应力估计（作为电容设计的依据）为
对于异步电机和PWM整流器应用场景（当功率因数降低和/或调制指数较高时），电容电流应力可通过以下简化表达式估计
